Dependería del contexto original de la pregunta. Si hace referencia a un trabajo en particular (presumiblemente por Graham), en el que se indica explícitamente
¿Cuál es el propósito del arte?
de tal manera que el autor pregunta esto a sus lectores, entonces su sugerencia es más o menos correcta. El único aspecto que editaría sería la puntuación, que lo representaría
Graham finalmente logra que el lector se pregunte a sí mismo : “¿Cuál es el propósito del arte?”
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Sin embargo, si solo está implícito en el texto original (en lugar de una cita directa), entonces el uso de comillas sería inapropiado. Si bien aún sería gramaticalmente correcto expresarlo de la manera anterior, generalmente se considera inapropiado usar comillas en la escritura expositiva cuando no se cita a alguien o algo. Considere usar lo siguiente:
Graham finalmente logra que el lector se pregunte cuál es el propósito del arte .
Por supuesto, si la cita está disponible, sugeriría que la use, ya que parece agregar un mayor impacto a su punto.
(En una nota al margen, y esto no es más que una tontería, a menudo me reprendían en la escuela por el uso de “él o ella”. Mi maestro me dijo que eligiera uno o que optara en lugar del singular “ellos”).