¿Qué significa la instrucción [math] (\ forall \ epsilon> 0) (\ exist n _ {\ epsilon} \ in \ mathbb {N}) (\ forall n \ geq n _ {\ epsilon}): | a_n -a | < {\ epsilon} [/ math] significa?

Answer 1

Esta es la definición de una secuencia convergente. Una forma de explicárselo a tu amigo es pensarlo como un juego.

Eres el jugador 1 y tu amigo es el jugador 2.

El jugador 1 comienza eligiendo cualquier número real positivo [matemáticas] \ epsilon [/ matemáticas].

El jugador 2 tiene la tarea de obtener un número natural [matemáticas] n _ {\ epsilon} [/ matemáticas]. Lo que quieren hacer es elegir un número que coloque la secuencia a una distancia de [matemáticas] \ epsilon [/ matemáticas] hasta el supuesto límite [matemáticas] a [/ matemáticas] y la secuencia debe mantenerse al menos tan cerca todos los términos de la secuencia comenzando en su número y todos los siguientes.

Supongamos que el jugador 2 tuvo éxito. Luego, el jugador 1 elige otro número real positivo y el jugador 2 lo intenta nuevamente. Si, sin importar qué número positivo elija el jugador 1, el jugador 2 siempre puede encontrar un número natural que se ajuste a la factura, entonces el jugador 2 gana y la secuencia converge.

Sin embargo, si hay al menos un [matemático] \ epsilon [/ matemático] donde el jugador 2 no puede encontrar un número natural adecuado, entonces el jugador 1 gana.

Ahora, para ser claros, sería más fácil para el jugador 2 encontrar una fórmula que produzca un número natural adecuado para cualquier [math] \ epsilon [/ math]. Si eso puede suceder, el jugador 2 gana, sin tener que defenderse contra un número incontable de opciones para [math] \ epsilon [/ math], y decimos que la secuencia converge.

Answer 2

Esto es en realidad una declaración sobre la convergencia de una secuencia [math] (a_n) [/ math]. La declaración afirma que la secuencia converge a un límite a, o [matemáticas] (a_n) -> a. [/ Matemáticas] Entonces, los elementos que confunden son ∀ y ∃, ¿verdad?

Lea los símbolos como ∀ – ‘para todos’ y ∃ – ‘existe’. Aplica esta semántica a los símbolos y puedes leer la oración como:

Para todos los números reales pequeños [matemática] {\ epsilon} [/ matemática] que son mayores que 0, existe ([matemática] {\ existe} [/ matemática]) un número natural (entero distinto de cero) tal que para todos números naturales mayores que el número natural mencionado anteriormente, la diferencia absoluta entre cualquier número en la secuencia de la posición n menos el límite es menor que la [matemática] {\ epsilon} [/ matemática] elegida. Por lo tanto, la secuencia converge.

En otras palabras, si elegimos que épsilon sea muy pequeño, y lo determinamos. Entonces, siempre hay un número natural que señala una posición en la secuencia desde la cual todos los puntos consecuentes en la secuencia tienen una distancia [matemática] a [/ matemática] menor que [matemática] {\ epsilon}. [/ Matemática]

Answer 3

Hola.

Noté que esta es la definición de convergencia al límite de una secuencia. Una secuencia se puede definir como una función que se asigna de [math] \ mathbb {N} [/ math] a [math] \ mathbb {R} [/ math] o [math] \ mathbb {C} [/ math]

De una manera más aplicada / intuitiva:

[matemáticas] (\ forall \ epsilon> 0) [/ matemáticas]

Lo anterior se puede interpretar como: “No importa cuán pequeño sea épsilon”

[matemáticas] (\ existe n _ {\ epsilon} \ in \ mathbb {N}) [/ matemáticas]

Hay un elemento en los números naturales, tal que:

[matemáticas] (\ forall n \ geq n _ {\ epsilon}) [/ matemáticas]

Para todos los n que son mayores o iguales a este elemento:

[matemáticas]: | a_n -a | <{\ epsilon} [/ matemáticas]

La distancia entre los elementos de la secuencia desde el índice [math] n [/ math] en adelante y un número [math] a [/ math] es menor que epsilon.

Answer 4

El enunciado escrito en términos matemáticos dice que para cualquier épsilon mayor que cero existe un número natural correspondiente a ese épsilon, de modo que todos los términos de la secuencia que vienen después de n-1 se encuentren dentro del intervalo abierto cuyo radio es épsilon y centro. a.

Más precisamente, podemos decir que un número a se dice que es el límite de una secuencia cuyos términos se denotan por a_n si y solo si por cada épsilon mayor que cero tenemos un número natural n tal que todos los términos de la secuencia después de n términos se ubicará dentro del intervalo abierto (a-ε, a + ε).

Answer 5

La traducción literal:
Por siempre épsilon mayor que 0
Existe nu_ sub_epsilon en el conjunto de números naturales (números enteros del 1 al infinito) donde por cada nu mayor que nu_sub_epsilon hay un valor absoluto (o distancia) entre el último elemento a_sub_n en una secuencia numerada del 1 a algún número natural n, y el primer elemento en la secuencia, a, que es menor que épsilon.

El significado es que dado un valor arbitrario, representado como épsilon, que debe ser estrictamente mayor que cero, hay una secuencia de valores a, …, a_sub_n donde la distancia entre algunos elementos en la secuencia con un elemento elegido arbitrariamente (a_sub_n) y uno relacionado con epsilon será menor que épsilon.

Destilando un poco más simple, elija un número mayor que cero.
En una secuencia de números, habrá algún número en la secuencia que sea menor que el número de unidades elegido lejos del primer elemento de la secuencia.

Lo más probable es que haya una explicación menos complicada en otros lugares.