¡Este es un buen ejemplo de por dónde no empezar!
Es un buen ejemplo para mí de dónde no comenzar a usar los bits de soporte TeX proporcionados, por lo que me disculpo si hago un hash. Intentaré editar si es necesario para que se vea bien.
Como dice Gaspard Sagot, esto parece una identidad (o una definición, si es diferente) en lugar de una ecuación para “resolver”.
Hay varios bits de notación allí, y generalmente no sabes cómo desglosarlos hasta que sepas cómo se conectan las partes.
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Recorreré este, que NO entiendo completamente, solo para mostrar cómo va mi pensamiento.
Tal vez debería saber qué se entiende por [matemáticas] \ theta _ {\ scriptstyle {F}} [/ matemáticas], pero no lo sé. Como la mayoría de los símbolos usados aquí, debe definirse en algún lugar antes de usar esta expresión. Sin embargo, podemos tratarlo como una caja negra. El lado izquierdo (suponiendo que se transcribe correctamente) se refiere a alguna [matemática] p _ {\ lambda} [/ matemática] – presumiblemente uno comienza con una [matemática] \ lambda [/ matemática] de algún tipo y define una forma en qué valores diferentes de [math] p [/ math] están asociados con diferentes valores de [math] \ lambda [/ math]. En otras palabras, [math] p _ {\ lambda} [/ math] parece una notación alternativa a [math] p (\ lambda) [/ math], posiblemente porque en la práctica [math] \ lambda [/ math] es un constante aún indeterminada, y una función es una forma extraña de pensar en un mapeo con un solo miembro. La barra vertical [matemática] \ media [/ matemática] entre [matemática] w [/ matemática] y [matemática] \ theta _ {\ scriptstyle {F}} [/ matemática] es “tal que”, es decir, [matemática] w [/ math] se toma de algún dominio, pero está restringido dentro de ese dominio a aquellos [math] w [/ math] para los que [math] \ theta _ {\ scriptstyle {F}} [/ math] tiene. Los paréntesis alrededor de [math] w [/ math] se parecen más a los paréntesis de funciones que a cualquier otra cosa; entonces [math] p [/ math] bien podría ser una función. Dije que tenía un * valor *, no qué tipo de valor; fácilmente podría ser una cosa con valor de función. Y, por supuesto, eso explicaría por qué [math] p _ {\ lambda} [/ math] se escribió de esa manera, para no confundir al lector con dos conjuntos de paréntesis de funciones.
Considere cuidadosamente el poder [matemáticas] (n + 1) [/ matemáticas]. Si [math] p [/ math] simplemente se considerara como un valor, entonces los paréntesis generalmente no se incluirían. Si es una función, entonces el exponente probablemente se refiere a la diferenciación repetida. Los paréntesis son una pista; lo cual es una advertencia para tener cuidado con los paréntesis redundantes al escribir expresiones como esta. Una posibilidad alternativa, quizás menos probable, es la aplicación repetida de la función. Eso, como la diferenciación repetida, solo funciona para funciones de un argumento (en este caso, [math] w [/ math]), no por una razón profunda, sino porque al aplicar una función necesita conocer todos los argumentos, por lo que el valor de la función solo puede ser uno de ellos, y al diferenciar necesita saber qué variable está diferenciando con respecto a. La notación aquí sugiere que es “obvio”, y que solo se usa una variable como esa. De cualquier manera, tiene sentido usar anotaciones que eviten tener múltiples argumentos, lo cual es otra razón para usar [math] \ lambda [/ math] como subíndice en lugar de como un argumento de función adicional.
Todavía es posible (pero poco probable) que los paréntesis sean simplemente innecesarios, y que no esté sucediendo nada más complicado que “elevar una cantidad a una potencia”; por ejemplo, [matemática] p (w) [/ matemática] podría ser solo una especie de número, que luego se eleva a potencia [matemática] (n + 1) [/ matemática]. Para ser implacablemente estricto, se trata de la aplicación exacta de la sintaxis; ¿se aplica “subir al poder [matemática] (n + 1) [/ matemática]” al mapeo de la función (composición repetida), o se aplica al valor de la función? Esto es en parte una cuestión de convención (una noción generalizada sobre la forma en que los operadores se unen y se asocian al escribir expresiones) y, en parte, algo que debe resolverse mediante una explicación específica.
Habiendo establecido que eso es (muy probable) lo que significa el lado izquierdo, también es muy probable que las [matemáticas] t ^ {(n)}) (w) [/ matemáticas] y las [matemáticas] t ^ {(n )} (w_i) [/ math] están usando la misma notación. Entonces estos serán poderes de [math] t (w) [/ math] o aplicaciones repetidas de [math] t [/ math] comenzando con [math] w [/ math], o una diferenciación repetida de [math] t (w ) [/ math], según el lado izquierdo. Nuevamente, principalmente debido a los paréntesis, supongo que la diferenciación es lo que se quiere decir aquí, pero todavía no estoy seguro.
Las expresiones divertidas [math] c (w; \ mathbf {d} _j) [/ math] son sospechosas. La d en negrita podría ser un vector. El punto y coma se ve divertido, lo que sugiere que esta es una notación completamente especializada, aunque difícilmente puede significar algo fundamentalmente diferente de una coma: la función [math] c (w; \ mathbf {d} _j) [/ math] tiene dos argumentos . Obviamente, solo * qué * es tendrá que explicarse en alguna parte.
Las grandes [matemáticas] \ Sigma [/ matemáticas] s denotan sumas; en este caso, como las sumas son para diferentes parámetros formales [matemática] i [/ matemática] y [matemática] j [/ matemática], todas están etiquetadas estrictamente, con la [matemática] j [/ matemática] iterando de 1 a [matemáticas] n [/ matemáticas] inclusive. El primer gran [math] \ Sigma [/ math] en el denominador simplemente está etiquetado con un subíndice [math] i [/ math], lo que implica que es perfectamente obvio qué valores de [math] i [/ math] deben considerarse . En ausencia de cualquier otra información, uno podría considerar que es una suma de 1 a [math] \ infty [/ math], o de 0 a [math] \ infty [/ math], pero si uno realmente no t saber en este punto qué valores de [matemáticas] i [/ matemáticas] “cuentan”, entonces uno está atascado.
[math] \ Sigma [/ math] siempre es * seguido * por la expresión que gobierna; la suma de los diferentes valores de [math] i [/ math] o [math] j [/ math] es la suma de la siguiente expresión, y, por lo general, eso es todo lo que necesita saber. Si es necesario, use paréntesis antes de [math] \ Sigma [/ math] y después de la expresión para mostrar cómo se agrupan las cosas. La expresión, dado que es realmente un término en una adición, por convención termina antes del primer operador binario siguiente [math] + [/ math] o [math] – [/ math] en el mismo nivel de anidamiento. Aquí eso no pasa.
Por otro lado, una [matemática] \ Sigma [/ matemática] después de otra es solo una suma anidada. En este caso, hay una suma sobre [matemáticas] j [/ matemáticas] en el denominador, y eso a su vez es parte de una suma sobre [matemáticas] i [/ matemáticas]. Tiene que estar en ese orden, simplemente porque la expresión pone la suma sobre [math] j [/ math] a la derecha de la suma sobre [math] i [/ math], y no hay nada que decir de otra manera. Observe, nuevamente, que si marcara la diferencia, sería necesario usar paréntesis. Sin embargo, si desea incluir un binario [math] + [/ math] o [math] – [/ math] dentro de una suma [math] \ Sigma [/ math], deberá usar paréntesis de todos modos, y si usted ‘ simplemente multiplicando por una cantidad que no depende del parámetro formal en la suma interna, entonces no importa si esta cantidad está dentro de la suma interna o no. En este caso particular, el parámetro formal i aparece justo al final del denominador, por lo que DEBE incluirse en la suma sobre i hasta ese punto. Sin embargo, podría ser posible reorganizarlo de la siguiente manera:
[matemáticas] \ Sigma_i t ^ {(n)} (w_i) \ Sigma_ {j = 1} ^ nc (w_i; \ mathbf {d} _j) [/ matemáticas]
La expresión impar [math] c (w_i; \ mathbf {d} _j) [/ math] contiene ambos parámetros [math] i [/ math] y [math] j [/ math], solo tiene sentido si se incluye en La suma interna.
Sin embargo, puede suceder, en algunos dominios, que uno no pueda mover [math] t ^ {(n)} (w_i) [/ math] de esta manera; por ejemplo, podría no conmutar con [math] c () [/ matemáticas] términos. Sin embargo, si la multiplicación por [matemáticas] t ^ {(n)} (w_i) [/ matemáticas] – si ES multiplicación; generalmente es en estos casos, pero tenga cuidado: no se distribuye sobre la suma interna, entonces los paréntesis realmente DEBEN usarse para evitar la ambigüedad. Como no se usan, presumiblemente no es un problema, y la multiplicación * sí * distribuye sobre la suma.
Ya debería ser obvio, si aún no lo fuera, que los “números pequeños” no siempre ayudarán. A veces no hay un “caso simple” que pueda probar, y a veces no puede verificarlo, excepto trabajando a través de la lógica.