Nunca he escuchado “En la otra mano” usado como una expresión o metáfora o algo así; solo cuando se habla de algún objeto físico en la mano real de alguien. Por ejemplo, “sostenía una flor en una mano. En la otra, tenía un cuchillo”.
La frase “por otro lado” es bastante diferente. Aunque sería posible usarlo para una situación física, eso sonaría extraño porque normalmente se usa como una expresión para la segunda de dos alternativas opuestas. Sin siquiera pensarlo, comencé este párrafo con “Por otro lado”, aunque lo cambié para evitar confusiones. Iba a decir “Por otro lado, la frase ‘por otro lado’ es bastante diferente”.
Bien, eso podría ser confuso si el inglés no es su primer idioma. Aquí hay un mejor ejemplo: “Podríamos seguir caminando hacia nuestro destino. Por otro lado, está oscureciendo, por lo que podría ser más seguro llamar a un taxi”.
La primera frase, “por otro lado”, sonaría extraño para un hablante nativo de inglés si se usa de la misma manera que usamos “por otro lado”.
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¡Espero que eso ayude!