Las primeras 20 letras del alfabeto inglés se escriben al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya 4 letras entre A y B?

Answer 1

Primero, encontramos la cantidad de formas en que esto sucede.

Excluyendo A y B, hay 18 letras. Fuera de eso, se deben seleccionar 4 letras y organizarlas entre ellas. Por lo tanto, para seleccionar y organizar 4 letras de 18 letras, obtenemos P (18, 4) o 18P4

¡Las 14 letras restantes se pueden organizar en 14! formas.

Pero no es necesario que A esté en la 1ª posición seguida de 4 letras y B esté en la 6ª posición. B puede estar en cualquier lugar desde la sexta posición hasta la posición 20. Por lo tanto, hay 15 formas de llenar las letras A y B.

Y finalmente, tampoco es necesario que A esté antes que B. También puede ser como B seguido de 4 letras y luego la A. ¡Por lo tanto, hay 2! formas de organizarlos.

Entonces, la forma total en que esto puede suceder es:

[matemáticas] P (18, 4) \ cdot 14! \ cdot 15 \ cdot 2! [/matemáticas]

[matemáticas] \ frac {18!} {(18-4)!} \ cdot 14! \ cdot 15 \ cdot 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {18!} {14!} \ cdot 14! \ cdot 30 [/ matemáticas]

[matemáticas] 18! \ cdot 30 [/ matemáticas]

[matemáticas] 192071211171840000 [/ matemáticas]

Entonces, hay un total de 192071211171840000 formas en que A y B están separadas por 4 letras, ¡y hay 20! formas en que se pueden organizar 20 letras, så que da la posibilidad de:

[matemáticas] \ frac {192071211171840000} {20!} [/ matemáticas] [matemáticas] [/ matemáticas]

Entonces, existe una posibilidad [matemática] \ frac {3} {38} [/ matemática] o [matemática] 7.89 \% [/ matemática], de que A y B estarán separados por 4 letras.

Answer 2

La respuesta muy detallada (¡y correcta!) Que involucra 18P4, etc. podría haberse saltado las matemáticas pesadas que calcularon 192071211171840000 como una respuesta parcial.

En pocas palabras, las posibilidades son (30 * 18!) / 20! = 30 / (19 * 20) o 30/380 o, ta-daa! 3/38, no se requieren cálculos matemáticos pesados. El 15/190 más elegantemente derivado también es correcto.

Answer 3

si A está a la izquierda de B

hay 15/20 lugares que A puede ir

y 1/19 lugares a los que B puede ir

entonces la orden puede ser intercambiada

dando una respuesta

de 15/190