¿Los libros de texto matemáticos más nuevos (álgebra avanzada, análisis, probabilidad, etc.) en general son mejores que los antiguos?

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Desearía que esto fuera cierto, pero no creo que lo sea. O al menos, creo que la tendencia es bastante débil. Hay muchas excepciones y áreas grises.

En general, los libros de texto parecen mejorar cada vez más por un tiempo. El primer manuscrito sobre un tema rara vez es el mejor, a menos que por alguna razón no se publiquen otros textos sobre el tema. Cuando el número total de libros sobre un tema es pequeño, esperamos qué texto se considere mejor cambiar con el tiempo, porque se están escribiendo muchos libros.

Después de un tiempo, los libros de texto tienden a estandarizarse. Los autores sienten abrumadoramente que un tipo particular de texto es el mejor para el tema, por lo que todos escriben así, y luego, si alguien piensa que tienen una mejor manera, hay presión para conformarse, de lo contrario corren el riesgo de no ser utilizados por estudiantes e instituciones, tanto de los cuales esperan la presentación estándar. La estandarización es la razón por la cual el cálculo diferencial e integral clásico de dos volúmenes de 1934 de Courant es tan similar a los textos modernos populares como Calculus: Early Transcendentals de Stewart (última edición: 2015). Una vez que los libros de una asignatura se estandarizan, los nuevos volúmenes rara vez mejoran mucho en comparación con sus predecesores. Esa estandarización es el resultado de una presentación particular que se considera buena es una de las razones. Esto significa que el método de 1934 es probablemente tan bueno como cualquier cosa que cualquiera pueda preparar en 2017. La otra razón es que la estandarización aleja fuertemente a los autores de probar nuevos estilos. Si está escribiendo un libro de la manera estándar, será difícil escribir algo mejor que otras presentaciones estándar. Además, si escribe un libro así, es menos probable que las personas lo lean.

Para ser claros, no todos los sujetos adoptan un tratamiento estandarizado, y a veces uno o dos textos monopolizan un tema hasta el punto de despertar el interés en textos alternativos, cuyos autores pueden tener ideas radicalmente diferentes sobre la mejor manera de escribir. Los Elementos de Euclides dominaron absolutamente el mercado de libros sobre geometría euclidiana por algún tiempo. (¡El tema lleva el nombre literal de su autor!) Sin embargo, casi nadie lee los Elementos hoy, y el cambio de Euclides es reciente.

También debemos tener en cuenta que los temas no están tan bien definidos. ¿El Álgebra de Aluffi : Capítulo 0 es un texto de álgebra de posgrado? Claro, la American Mathematical Society lo publicó como parte de su serie de Estudios de Posgrado en Matemáticas, pero Aluffi usa más teoría de categorías que cualquiera de los otros estándares, y eso cambia no solo el tratamiento sino también el contenido. Del mismo modo, ¿el álgebra de Lang es un texto de álgebra graduado? Claro, es parte de la serie Springer’s Graduate Texts in Mathematics (GTM), ¡pero cubre mucho más que la mayoría de los textos de álgebra! Quizás sea realmente un libro de referencia. Hay muchos más ejemplos, incluidos, estoy seguro, más extremos, pero creo que entiendes el punto.

hasta que estandaricen el plan de estudios para una asignatura determinada. En el período preestablecido, probablemente mejoren con el tiempo. Después de la estandarización, pueden no mejorar mucho en absoluto, o incluso pueden retroceder un poco.

Para ejemplos concretos y no controvertidos de libros que siguen la tendencia que usted propone y que la rompen, consideremos la geometría euclidiana plana y la geometría algebraica moderna. Geometría de Kiselev : La planimetría (publicada originalmente en ruso en 1892) es una geometría plana mejor que cualquier cosa que haya visto en las escuelas intermedias y secundarias contemporáneas. Fue un elemento básico de las matemáticas rusas durante algún tiempo, y su estilo es muy efectivo. Su contenido se superpone con los textos modernos, excepto que evitan las pruebas. Por otro lado, The Rising Sea: Foundings of Algebraic Geometry de Ravi Vakil es mejor que los viejos libros de teoría de esquemas estándar, como la infame Geometría algebraica de Hartshorne . Los ejercicios de Hartshorne son duros y efectivos (muchos se sacan de SGA), pero Vakil ha logrado la increíble hazaña de requerir solo álgebra básica (para referencia, Harthsorne requirió mucho más álgebra que Eisenbud escribió un texto para llenar el vacío: Álgebra conmutativa con un View Toward Algebraic Geometry ) al tiempo que proporciona un tratamiento más claro que Hartshorne.

Otro posible fenómeno es un cambio en la ideología educativa sobre el cual los practicantes de la materia o incluso los especialistas en educación no están de acuerdo. Por ejemplo, a muchos matemáticos no les gusta la eliminación de pruebas de la geometría de la escuela secundaria.

En conclusión, creo que los libros de texto tienden a mejorar durante algún tiempo, luego su calidad tiende a nivelarse, pero hay algunos casos de mayores aumentos de calidad o, más a menudo, nuevos tratamientos no estándar que se vuelven algo populares (en lugar del tratamiento estándar utilizado en La gran mayoría de los textos populares). También hay muchas excepciones, donde los libros antiguos funcionan tan bien que su éxito es difícil de replicar o donde las nuevas filosofías son ampliamente vistas como defectuosas.