¿Por qué los libros de texto de matemáticas no son más sencillos? La lectura y los buenos libros mejoran nuestra vida

Algunos consejos generales para estudiantes de matemáticas de todas las edades

De hecho, ¡diría que la mayoría de los libros de texto de matemáticas son muy sencillos!

El verdadero problema que experimentan la mayoría de los estudiantes es el de la relatividad y la experiencia. Las matemáticas son un tema cada vez más sofisticado, acumulativo y más complicado cuanto más lo estudies. Afortunadamente, con el tiempo, también se vuelve más fácil, más interesante e intrigantemente más hermoso.

Como ejemplo de lo que estamos viendo y de lo que la mayoría de los estudiantes enfrentan, tomemos el tema del álgebra. Por lo general, en los Estados Unidos se puede tomar álgebra introductoria en octavo grado antes de tomar álgebra II en noveno o décimo grado. (Para nuestros propósitos inmediatos, aquí estoy descartando la existencia potencial de un curso de preálgebra común que ofrecen algunas escuelas intermedias, secundarias e incluso universidades). Más adelante en la universidad, uno ejercitará los músculos de álgebra en cálculo y puede eventualmente llegar a un curso llamado álgebra abstracta como estudiante universitario de nivel superior (en sus años junior o senior). La mayoría de los libros de texto de álgebra abstracta de pregrado estándar cubrirán TODO el material que estaba en sus textos básicos de álgebra I y álgebra II en aproximadamente cuatro páginas y ¡simplemente asumen que solo conoce el resto!

Naturalmente, si comenzó con el libro de texto de álgebra abstracta en octavo grado, es muy probable que se pierda COMPLETAMENTE. Esto se debe a que el libro de texto de álgebra abstracta supone que tienes antecedentes previos significativos en matemáticas (a lo que a menudo se hace referencia en la introducción de más de un libro de texto de matemáticas como “sofisticación matemática”, aunque esta frase también asume implícitamente el conocimiento de qué prueba es, qué implica, cómo funciona y cómo escribir una realmente).

Siguiendo el libro de texto de álgebra abstracta de pregrado, incluso hay un curso de posgrado adicional (o cuatro) sobre álgebra abstracta (o subtemas avanzados como teoría de grupo, teoría de anillo, teoría de campo y teoría de Galois) que se profundiza aún más y más que el curso de pregrado ; El libro para esto supone que has dominado el texto de pregrado y continúa más rápido y más.

Una analogía de levantamiento de pesas

Para analogizar las cosas con algo más común, supongamos que desea convertirse en un levantador de pesas de nivel olímpico. ¡No vas a ir al gimnasio el primer día y arrebatar y luego limpiar y sacudir 473 kg! Comenzará con una pequeña fracción de ese peso y practicará repetidamente durante años aumentando lentamente su capacidad de levantar pesas cada vez más grandes. Lo más probable es que también es probable que hagas algo de entrenamiento cruzado al correr, nadar e incluso levantar otras pesas para fortalecer tus piernas, hombros, estómago y espalda. Todo este trabajo eventualmente puede llevarlo a ganar la medalla de oro en los Juegos Olímpicos, pero tarde o temprano alguien vendrá y romperá su récord mundial.

Ciertamente, las matemáticas no son diferentes: uno comienza pequeño y con mucho trabajo y práctica a lo largo del tiempo, uno asciende lenta pero seguramente los rigores de los problemas que se les presentan para convertirse en mejores matemáticos. A menudo, uno toma otros cursos como física, biología e incluso cursos de ingeniería que proporcionan “entrenamiento cruzado”. Por lo general, cuando uno tiene problemas en una clase de matemáticas es porque de alguna manera se están perdiendo algo que debería haber venido antes o porque no No practiques lo suficiente en su trabajo de clase anterior para comprender realmente todos los conceptos y sus sutilezas. Como ejemplo, el nuevo material en los libros de texto de cálculo común es realmente muy mínimo: el primer paso en la mayoría de los problemas es el único cálculo real y los siguientes 10 pasos son solo practicar las habilidades de álgebra. Por lo general, al llevar a cabo el álgebra se cometen más errores que en el cálculo real.

A menudo, en los niveles más bajos de matemáticas en la escuela primaria, algunos estudiantes pueden leer solo algunos ejemplos y simplemente parecen “obtener” las respuestas sin realmente hacer un “ejercicio” real. Eventualmente llegarán a un punto en el que golpean una pared o comienzan a tener problemas, y generalmente se produce como resultado de no practicar realmente su oficio. Uno no podría convertirse en un levantador de pesas olímpico leyendo libros sobre levantamiento de pesas, necesitan realmente entrar al gimnasio y entrenar / practicar. (Por supuesto, uno de los lugares en los que se rompe esta analogía es que el entrenamiento de levantamiento de pesas es muy lineal y no le permite a uno “saltarse” de la manera que uno podría potencialmente en un plan de estudios de matemáticas).

Me recuerda una cita del matemático Pierre Anton Grillet: “… el álgebra es como la pastelería francesa: maravilloso, pero no se puede aprender sin poner las manos en la masa”. Es una de las expresiones más hermosas del sentimiento recurrente escrito por casi todos los autores introducen el prefacio de casi todos los textos matemáticos en o por encima del nivel de cálculo. Todos exhortan a sus alumnos a que realmente pongan lápiz a papel y trabajen a través de la lógica de sus argumentos y ejercicios para aprender el material y obtener una experiencia valiosa. Estoy seguro de que la mayoría de los profesores de matemáticas te asegurarán que, al final, solo una pequeña fracción de sus estudiantes lo hace. Parte del problema es que estas exhortaciones solo vienen en libros de texto tradicionalmente leídos en el nivel de pregrado avanzado, cuando deberían comenzar en el segundo grado.

“Es fácil de ver”

Una frase común en casi todos los libros de texto avanzados de matemáticas en el planeta es la justificación, “Es fácil de ver”. ¡La frase, y las que le gusten, deberían ser una consigna para que los estudiantes estén inmediatamente en guardia! La frase se usa comúnmente en pruebas, debates, conversaciones y conferencias en las que un autor o maestro puede omitir uno o más pasos que considera que deberían ser obvios para su audiencia, pero que, de hecho, son mucho más comunes.

Se ha vuelto tan cliché que algunos autores en realidad mencionan específicamente en sus prefacios que prometen no usar la frase, pero si lo hacen, generalmente dejan escapar otro eufemismo que es su equivalente.

El problema con la frase es que todos, por la fuerza de sus propias circunstancias e historia, lo verán de manera completamente diferente. Un paso que es fácil para alguien con un doctorado. quienes se especializaron en la teoría de campo para “ver” pueden ser totalmente incomprensibles para un estudiante principiante de álgebra I de la misma manera que los pasos que fue fácil de ver para Girgory Perelman en su prueba de la conjetura de Poincaré fueron igualmente completamente incomprensibles para equipos de múltiples tenedores profesores de investigación de matemáticas para ver. (referencia cruzada: La conjetura de Poincaré: En busca de la forma del universo por Donal O’Shea (Walker & Co., 2007))

Cómo leer activamente un texto matemático

El problema

Entonces, ¿cómo deben proceder los estudiantes? Sin duda ayudará a ver una hoja de ruta más amplia de lo que se avecina y cómo serán los cambios esperados en el terreno. También será de gran ayuda si los estudiantes tienen una mejor idea de cómo abordar las matemáticas por sí mismos e incluso por sí mismos en muchos casos.

En mi opinión, la desconexión más común ocurre en algún lugar entre las matemáticas de la escuela secundaria y las matemáticas tempranas de la universidad (generalmente una secuencia de cálculo, álgebra lineal) y luego nuevamente entre álgebra lineal / ecuaciones diferenciales (áreas que generalmente tienen discusión seguida de ejemplos y luego de arranque) problemas) y áreas matemáticas abstractas más altas como análisis, álgebra abstracta, topología (áreas en las que el ciclo de escritura de definición-teorema-prueba es más común y aparentemente más incomprensible para muchos).

El primer gran problema en las primeras matemáticas de la universidad es la mayor velocidad a la que se mueven los cursos universitarios. Los estudiantes acostumbraron a un ritmo más lento en la escuela secundaria, donde los maestros generalmente enseñan a los alumnos de nivel medio o inferior de la clase y se sorprenden cuando sus profesores universitarios enseñan a los estudiantes con mayor capacidad y no tienen tanto miedo de abandonar el extremo inferior del espectro. detrás. Al igual que se espera que los atletas de secundaria mejoren su juego cuando hacen la transición a la universidad y de manera similar los atletas universitarios que se vuelven profesionales, los estudiantes de matemáticas deben darse cuenta de que se espera que mejoren su juego en los momentos apropiados.

A menudo, los estudiantes de matemáticas (y realmente cualquier estudiante de cualquier materia) confía en que el maestro asigne lecturas o problemas de su libro en lugar de exagerar su curiosidad para explorar el material de manera más ávida y amplia. Si pueden seguir la guía de su maestro y la de los autores individuales de los libros, pueden hacerlo mucho más por su cuenta. Los maestros de secundaria a menudo se saltan secciones de libros de texto por tiempo, pero los estudiantes deben darse cuenta de que hay material rentable e interesante que se están saltando. ¿Por qué no ir y leerlo por su cuenta?

Anteriormente mencioné que un libro de texto de álgebra abstracta de pregrado promedio podría cubrir la totalidad de un libro de texto de álgebra de la escuela secundaria en aproximadamente tres páginas. ¿Qué significa esto para los estudiantes de matemáticas de nivel superior? Casi siempre significa que la densidad de material en estos libros es mucho mayor que la de sus libros de texto anteriores. ¿Cómo se llega a esta densidad? Los autores de libros de texto avanzados dejan mucho más de lo que pueden incluir; de lo contrario, sus libros de texto de 300 páginas, si están escritos en el mismo nivel básico que los anteriores, serían libros de texto mucho más pesados de más de 1000 páginas. ¿Qué están dejando afuera? A menudo están dejando de lado gran parte de lo que podría ser una discusión útil, pero con mayor frecuencia, están dejando de lado muchos ejemplos resueltos. Por ejemplo, un texto de la escuela secundaria presentará una definición o concepto y luego dará tres o más ilustraciones o ejemplos de problemas relacionados con el concepto. Luego, los ejercicios darán docenas de problemas de perforación adicionales para vencer el concepto hasta la muerte. Este tipo de presentación generalmente continúa hasta el nivel de cálculo, donde a menudo se ven tomos masivos en más de 800 páginas. Los textos de matemáticas después de este punto generalmente no superan las 300 páginas como regla, y es principalmente porque están dejando los ejemplos fuera de la ecuación proverbial.

La solución

¿Cómo se combate este problema? Los estudiantes necesitan pensar más activamente en las matemáticas que han tomado previamente y encontrar sus propios ejemplos simples de problemas, y trabajar por su cuenta. El hecho de que el libro no dé muchos ejemplos no significa que no existan.
De hecho, muchos libros de texto en realidad están presentando ejemplos, solo los están ocultando con sugerencias textuales muy sutiles. A menudo, en la presentación de un concepto, el autor omitirá uno o más pasos en una prueba o ejemplo y le indicará al alumno que debe seguir los pasos por sí mismo. (Frases como: “se lo dejamos al lector para que lo verifique” o “vea el ejemplo 2”). A veces, esta sugerencia viene en forma de esa temida frase, “Es fácil de ver”. Cuando se presenta con estas sugerencias, incumbe (o algunos estudiantes pueden preferir la palabra gravamen) en el estudiante para pensar en los pasos faltantes o proporcionar el material faltante ellos mismos.

Mientras leen matemáticas, los estudiantes no solo deben leer las palabras y seguir los pasos, sino que deben estar trabajando activamente en todos los pasos (faltantes o no) en cada uno de los ejemplos o pruebas provistos. Deben leer sus libros de matemáticas con lápiz y papel en mano en lugar del formato habitual de leer su libro de matemáticas y luego recoger papel y lápiz para resolver problemas después. La mayoría de los textos matemáticos avanzados sugieren media docena o más de problemas para resolver dentro del propio texto antes de presentar una docena o más de problemas adicionales, generalmente en una sección formal titulada “Ejercicios”. Los estudiantes tienen que entrenarse para pensar y resolver los problemas “ocultos” dentro de las secciones de discusión textual.

Además, los estudiantes deben considerarse “investigadores” o pensar en su trabajo como descubrimiento o juego. ¿Pueden proponer sus propias preguntas o ejercicios que relacionen los conceptos que han leído con las cosas que han hecho en el pasado? A menudo hacer la pregunta abierta, “¿Qué pasa si yo …?” Puede ser muy útil. Uno tiene que imaginar que este es el tipo de “juego” que hicieron los primeros matemáticos como Euclides, Gauss y Euler, y debo decir que esta es también la razón por la que descubrieron tantas propiedades interesantes dentro de las matemáticas. (Siempre me gusta pensar que fueron los beneficiarios de “recoger la fruta que cuelga más baja” dentro de las matemáticas, aunque ciertamente descubrieron algunas cosas que tomaron algún tiempo en descifrar; damos por sentado parte de nuestro conocimiento como sentado sobre los hombros de los gigantes nos permiten ver mucho más de lo que podíamos antes).

Como resultado de esta regla recién descubierta, los estudiantes encontrarán fácilmente que, si bien podrían leer una docena de páginas de sus libros de texto de la escuela secundaria en solo unos minutos, puede llevarles entre media hora y dos horas leer correctamente incluso una sola página de un texto matemático avanzado. Sin dedicar este tiempo y esfuerzo extra, se encontrarán rápidamente dentro de la hierba alta (o, más adecuadamente, las malas hierbas).

Otro truco de los libros de texto avanzados es que, debido a que no tienen suficiente tiempo o espacio dentro del texto primario, los autores a menudo “ocultan” conceptos, definiciones y teoremas importantes dentro de las secciones de “ejercicios” de sus libros. El hecho de que un concepto no aparezca en el texto principal no significa que, en general, no sea importante. Como resultado, los estudiantes siempre deben hacer todo lo posible para al menos leer todos los ejercicios en el texto, incluso si no pasan el tiempo para leerlos todos.

Una de las cosas difíciles de las matemáticas abstractas avanzadas es que a menudo es muy acumulativo e incluso entrelazado, por lo que cuando uno no comprende las partes iniciales o iniciales de un libro de texto, no es un buen augurio para las secciones posteriores que requieren uno. haber dominado el trabajo anterior.

Esto es aún peor cuando algunos cursos se basan en el trabajo de los cursos anteriores, por lo que, por ejemplo, tener buenos resultados en el cálculo III requiere que uno domine completamente el cálculo I. En algunos de los niveles más altos, como los cursos en grupos de Lie y álgebras de Lie, requiere que uno domine el material en muchos otros cursos anteriores como análisis, álgebra lineal, topología y álgebra abstracta. Los autores de libros de texto como estos a menudo declararán desde el principio qué material esperan que los estudiantes dominen para que les vaya bien, e incluso entonces, pasarán algún tiempo dando resúmenes de material relevante e incluso anotaciones de estas áreas en apéndices de sus libros. .

Como resultado de esto, podemos tomarlo como una regla general: “Nunca te saltes nada en un libro de texto de matemáticas que no entiendas”. Sigue trabajando en los conceptos y ejemplos hasta que se conviertan en algo natural para ti.

Finalmente, más estudiantes deberían pensar en las matemáticas como un nuevo lenguaje. He hecho referencia a la siguiente cita de Galileo antes, pero vale la pena repetirla (el énfasis es mío):

“La filosofía está escrita en este gran libro, el universo que está continuamente abierto a nuestra mirada. Pero el libro no puede entenderse a menos que uno primero aprenda a comprender el idioma y leer las letras en las que está compuesto. Está escrito en el lenguaje de las matemáticas, y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas sin las cuales es humanamente imposible entender una sola palabra; sin estos, uno deambula por un laberinto oscuro.
-Galileo Galilee (1564–1642) en Il saggiatore (El ensayador)

Aunque la notación matemática ha cambiado drásticamente (para mejor, en mi opinión) desde la época de Galileo, ciertamente tiene su propia jerga, definiciones y anotaciones especiales. Los estudiantes deben asegurarse de pasar algún tiempo familiarizándose con la notación moderna actual, y especialmente con la notación en el libro que elijan. A menudo, los libros de texto de matemáticas tendrán una lista de símbolos y sus significados en algún lugar de los documentos finales o los apéndices. Los autores generalmente se esfuerzan por introducir la notación en algún lugar de la introducción, el prefacio, los apéndices o, a menudo, incluso en un capítulo de revisión introductoria en el que asumen que la mayoría de sus estudiantes están muy familiarizados, pero de todos modos lo escriben para aclimatar a los estudiantes. la notación particular que usan en su texto. Esta notación a menudo puede parecer excesiva o incluso obtusa, pero generalmente es muy consistente en todas las disciplinas dentro de las matemáticas, pero es increíblemente útil y necesaria para hacer que los conceptos complejos sean simples de pensar y comunicar a los demás. Para aquellos que están perdidos, o que desean ayuda para profundizar en áreas de matemáticas aparentemente por encima de sus cabezas, recomiendo encarecidamente el texto Notación matemática: una guía para ingenieros y científicos de mi amigo Edward Scheinerman como una guía útil.

Un estudiante de secundaria puede recoger un libro de texto sobre grupos de mentiras y quedar asombrado ante la incomprensibilidad de la asignatura, pero la mayor parte de la desconexión está en conocer y comprender el idioma real en el que está escrito el texto. Un estudiante neófito de latín no tardaría en recoger una copia de Cicerón y esperaría poder deleitarse con la belleza y la alegría de las palabras o su significado sin pasar primero un tiempo estudiando el vocabulario, la gramática y la sintaxis del idioma. Afortunadamente, como el latín, una vez que uno ha aprendido un poco de matemática, las anotaciones y definiciones son muy similares, por lo que una vez que pueda leer un texto, podrá apreciar una amplia variedad de otros.

Lectura activa de una revisión de texto de matemáticas:

Trabaja a través de los pasos de todo dentro del texto
Crea tus propios ejemplos
Trabaja a través de los ejercicios
Lea todos los ejercicios, especialmente los que no hace.
Nunca te saltes nada que no entiendas completamente
La matemática es un idioma: dedica un tiempo a aprender (memorizar) la notación

Excepciones

Naturalmente, hay excepciones a la regla. No todos los libros de texto de matemáticas son geniales, buenos o incluso pasables. Ciertamente, existe un espectro de libros de texto, y hay aún más opciones en el extremo más simple (más elemental), en parte debido a la mayor demanda. Sin embargo, en su mayor parte, la mayoría de los libros de texto son al menos funcionales. Aún así, de vez en cuando se puede encontrar una manzana muy mala de un libro de texto.

Debido a la economía de la publicación de libros de texto, a menudo es muy difícil que un libro de texto se publique incluso si al menos no alcanza un umbral mínimo de calidad. El historial de un editor puede ser un buen indicador de textos razonables. Los autores de textos bien investigados a menudo agradecen a los profesores que han enseñado sus libros en otras universidades o incluso proporcionan una lista de universidades y colegios que han adoptado sus textos. Naturalmente, el hecho de que 50 universidades hayan adoptado un texto en particular no significa necesariamente que sea necesariamente de alta calidad.

Uno de los principales problemas a tener en cuenta es el uso del libro de texto escrito por el propio profesor. Si bien esto puede no ser un problema si su profesor es alguien como Serge Lang, Gilbert Strang, James Munkres, Michael Spivak o el fallecido Walter Rudin, si su profesor en particular no es muy conocido en su campo, es un complemento o miembro asociado de la facultad, o es profesor en un colegio comunitario, luego: advertencia.

Dado que las matemáticas son un tema sobre el pensamiento claro, el análisis y la aplicación del conocimiento, recomiendo que los estudiantes que sienten que se les está vendiendo una lista de productos en sus libros de texto requeridos / recomendados, tómense el tiempo de mirar libros de texto alternativos y elegir uno que sea adecuado para ellos mismos. Para aquellos interesados en obtener más información sobre este subtema en particular, he escrito sobre esto antes: Sobre cómo elegir sus propios libros de texto .

Consejo de despedida

A menudo, incluso con las mejores intenciones, algunos autores pueden adelantarse a sí mismos o el área en cuestión está tan avanzada que es difícil encontrar un camino hacia ella. Como ejemplo, podríamos considerar grupos de mentiras y álgebras, que es un área fascinante para profundizar. Desafortunadamente, puede llevar varios años de trabajo avanzado llegar a un nivel suficiente para incluso hacer una pequeña mella en cualquiera de los libros de texto en el área, aunque algunas investigaciones descubrirán un puñado de cuatro libros de texto que lo ayudarán a abordar el tema. con antecedentes razonables en solo análisis y álgebra lineal.

Cuando uno siente que se ha topado con una pared, pero aún quiere luchar para tener éxito, recuerdo el consejo del venerado comunicador matemático Paul Halmos, cuyo libro Measure Theory necesitaba mucho material de fondo adicional, que en lugar de comenzar con el tradicional Capítulo 1, sintió que era necesario incluir un Capítulo 0 (en realidad llamó a sus capítulos “secciones” en el libro) e incluso en ese momento tenía suficientes problemas y fue acorralada para escribir la declaración:

“… [el lector] no debe desanimarse, si en la primera lectura de la sección 0, descubre que no tiene los requisitos previos para leer los requisitos previos”.
– Paul Halmos en Measure Theory (1950)

Esto es esencialmente el equivalente matemático del coloquialismo “Fingir hasta que lo consigas”.

Cuando todo lo demás falla, usa este adagio y no te desanimes. ¡Llegarás allí eventualmente!

Publicado originalmente en ¿Por qué los libros de texto de matemáticas no son más sencillos?