¿Cuál es la forma más fácil de calcular la convolución de dos señales? ¿Qué libros tienen buenos ejemplos?

Answer 1

Hay dos formas comunes de calcular la convolución de dos señales [matemática] x (t) [/ matemática] y [matemática] h (t) [/ matemática]:

1. Uso de la suma de convolución [matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) h (t- \ tau) d \ tau [/ math]
2. Aplicando la transformada de Fourier o Laplace a cada señal, multiplicando las transformadas, luego aplicando la transformación inversa para recuperar una señal de dominio de tiempo.

La cuestión de qué método es más fácil varía de un caso a otro y si está realizando la convolución a mano o con una computadora.

A mano, la suma de convolución tiende a ser más fácil para señales que solo son distintas de cero en un intervalo finito. El método de Fourier / Laplace tiende a ser más fácil para señales con transformaciones comúnmente conocidas.

Cuando se usa una computadora, es útil observar la complejidad computacional de cada método. La convolución en el dominio del tiempo es una operación [matemática] O (n ^ 2) [/ matemática] para señales de entrada de longitud n. El uso de un algoritmo como la Transformada rápida de Fourier para realizar el método de convolución de Fourier da como resultado la complejidad [matemática] O (nlogn) [/ matemática]. Tenga en cuenta que si bien el método de Fourier tiende a tener una mejor complejidad de tiempo de ejecución asintótica, en realidad la convolución del dominio del tiempo probablemente sería mejor para señales cortas.

En cuanto a un libro de texto con buenos ejemplos, sé que Signals and Systems de Oppenheim es bastante bueno, pero estoy seguro de que la mayoría de los libros de texto introductorios de procesamiento de señales estarían bien.

Answer 2

La respuesta de Andrew Weimholt es bastante buena, pero aún tengo que decir que la respuesta real es “depende”.

Es decir, en muchas situaciones, su enfoque funcionará bien. Pero dependiendo de la duración de las señales y del hardware que tenga disponible, puede que le resulte más conveniente calcular la convolución directamente utilizando un procesador de gráficos o un procesador DSP.

Sin embargo, más comúnmente, querrá usar una de las técnicas de transformación rápida, rellenando sus datos a una potencia de 2 si es necesario. Después de todo, para conjuntos de datos de más de aproximadamente mil puntos, realmente es más rápido usar la FFT para la transformación directa e inversa, el tiempo necesario para hacer la multiplicación en el dominio de frecuencia es insignificante. En cuanto a los libros que tienen los detalles, parece recordar haber visto algunos de los detalles que ninguno de nosotros cubrió aquí en el sitio en línea gratuito, The Scientist and Engineer’s Guide to

Olvidé qué capítulo lo tenía, pero tengo que dejar parte del trabajo como ejercicio para el lector;)

Mi favorito personal en temas como este es el procesamiento digital de señales. Érase una vez, incluso encontré el original francés disponible para navegar en línea gratis: solo busque “Bellanger, Maurice” en la página en http://www.bnf.fr

Answer 3

Si está trabajando con señales analógicas, puede usar la transformación de Laplace

Si F (s) es la transformada de Laplace de f (t) y G (s) es la transformada de Laplace de g (t), entonces la transformada de Laplace de (f * g) (t) es F (s) G (s) )

La evaluación del producto de F y G en el dominio de frecuencia a menudo puede ser más fácil que evaluar la integral [matemática] \ int f (\ tau) g (t- \ tau) d \ tau [/ matemática].

Una vez que calcula el producto en el dominio de frecuencia, puede usar la transformación inversa de Laplace para obtener la expresión de la señal enrevesada en el dominio de tiempo.

También tiene la opción de una transformación de Fourier. Al igual que con la transformación de Laplace, la transformación de la convolución es el producto de las transformaciones de las funciones individuales.

(ver también Teorema de convolución)

Si está trabajando con señales digitales, también existe la transformada discreta de Fourier.

Answer 4

En cuanto a la forma “más fácil” de encontrar el resultado de dos funciones enrevesadas … no conozco varias formas. Realmente, la convolución tiene una forma estándar construida a priori y de tal manera que se adapta a los problemas en cuestión, especialmente en campos como el proceso de encendido digital (DSP). Se da a continuación.

Dicho esto, si uno tiene la tarea de problemas relacionados con la convolución y se requiere el cálculo manual ( es decir , ‘a mano’) [como para los ejercicios de libros], lo más efectivo que realmente puede tener es estar equipado con un dominio de la conocimiento del cálculo integral. Es decir, ser capaz de evaluar integrales o, si las funciones enrevesadas son intratables ( es decir , no tienen una solución fácilmente alcanzable en términos de alguna expresión cerrada que no contenga integral), las técnicas requeridas para simplificar más completamente la expresión en cuestión. Estas técnicas, en términos generales, incluyen:

• U – Sustitución: proporciona técnicas necesarias para la evaluación oportuna de integrales de tipos específicos, a saber , aquellas en las que un término puede reescribirse como derivado de otro [salvo la necesidad de una constante de integración, ya que el otro término es a su vez la integral de la primera]. La sustitución y la sustitución hacia atrás permiten evaluarlas fácilmente [asegurándose de no olvidar reescribir también los límites de integración según lo requiera la sustitución]. U – La sustitución es útil especialmente para muchas integrales donde están presentes términos cuadráticos o radicales.
• Sustitución trigonométrica: análogos a u – Sustitución de términos trigonométricos. Debe lograrse mediante el conocimiento de la estrategia general de integración para tratar con integrales que involucran funciones / términos trigonométricos
• Expansión de fracciones parciales : la expansión de fracciones parciales le permite a uno expandir una expresión racional que no se adapta bien a la integración en dos o más expresiones racionales, cada una de las cuales es mucho más susceptible de evaluación utilizando los otros métodos / técnicas de integración discutidos aquí. Es un método bastante simple de aprender y muy poderoso también. Y podría agregar que la capacidad de uno para resolver una amplia gama de integrales se realiza realmente solo una vez que tiene un conocimiento sólido de todas las técnicas mencionadas en este documento, ya que muchas requerirán el uso de múltiples técnicas. La validez de la expansión de fracciones parciales como una de esas técnicas está habilitada por una propiedad de integral, a saber , la linealidad del operador integral .
• Integración por partes: este método suele ser bastante sencillo. El mayor problema viene en la decisión de qué término etiquetar ‘ u ‘ y cuál etiquetar ‘ dv ‘. Según ese tema, podría recomendar una regla que algunos maestros a menudo no introducen y que, con mucha frecuencia, es ventajosa. A saber, use el acrónimo ‘ LIATE ‘ para decidir qué término debe ser apropiado como ‘ u ‘. La lista está ordenada de tal manera que el término, de aquellos en la integral en cuestión, que se clasifica apropiadamente bajo la primera de las letras, ya que aparecerían al deletrear el acrónimo se convierte en ‘ u ‘.

1. L: Funciones ogarítmicas, ln (x), log (x), etc.
2.          YO: Invierte funciones trigonométricas, arcsin (x), arctan (x), etc.
3.          A: funciones lgebraicas, x ^ 2, 3x ^ 4, etc.
4.          T: T Funciones rigonométricas, sen (x), tan ((4/3) x), etc.
5.          E: E funciones exponenciales, e ^ x, 17 ^ (4.5x), etc.

• Integrales impropias: las integrales impropias tratan con integrales cuyos límites de integración son infinito o infinito negativo. Un conocimiento de estos es fundamental para comprender bien la transformación de Laplace y Fourier.

Existen técnicas de integración más avanzadas y menos enseñadas para las cuales es realmente una lástima que el plan de estudios de cálculo general las pase por alto. Si desea hacer un esfuerzo adicional y aprender algunos métodos bastante poderosos que la mayoría de sus compañeros probablemente no conocieron, lea sobre:

• La sustitución de medio ángulo de la tangente: también llamada “sustitución milagrosa” en un artículo, fue descubierta por Weierstrass según algunos relatos. Esencialmente, es una opción a prueba de fallas para una expresión sustituida (no me cites al respecto).
• Diferenciación bajo el signo integral: lo que Feynmann llamó uno de los métodos más subestimados en todo el cálculo.
• La regla generalizada de Leibniz, el teorema de Fubini: ir junto con el primero.

Por último, podría agregar que el conocimiento de los siguientes temas amplificaría en gran medida su capacidad para comprender la importancia de la convolución, así como ayudarlo en cualquier estudio adicional de DSP:

• Serie: haciendo especial hincapié en la serie de Fourier y la familia de Fourier que son fundamentales para DSP (especialmente, la serie discreta de Fourier). El conocimiento de la serie se presupone en cualquier intento de emprender un aprendizaje de la transformación de Fourier.
• Transformaciones integrales: lo más importante, un conocimiento de la transformación de Laplace y la transformación de Fourier. Uno notará que en el aula, estos métodos se enseñarán de tal manera que se espera que el alumno conozca su mecanismo y operación ( es decir , “cómo calcular la convolución / transformación de Fourier / transformación de Laplace a mano”) pero que, en la práctica, estas cantidades serán determinadas automáticamente por una computadora en un número muy grande de puntos ( N >> 1 ). Por lo tanto, no hay una instancia mediada por computadora en la que lo que uno ve sea en realidad la forma de transmisión (CFT) [continua], aunque eso es lo que interesa al científico del DSP; más bien, lo que la computadora evalúa es la forma discreta de transferencia de datos (DFT) sobre un tamaño de muestra grande … tan grande como para aproximar el CFT a un nivel de alta confianza.

Por último, me gustaría dirigirlo a la Guía del científico e ingeniero para el procesamiento de señales digitales por Steven W. Smith. En particular, encontré que el Capítulo 6 es particularmente útil para la primera convolución de aprendizaje. Puede encontrar todos los capítulos como archivos formateados * .pdf gratuitos en The Scientist & Engineer’s Guide to Digital Signal Processing.

Answer 5

Puede encontrar estas dos respuestas a una pregunta similar informativa. Uno adopta un enfoque algebraico: multiplicación de polinomios. Respuesta de Mahesh C. Shastry al procesamiento digital de señales: ¿Qué se puede hacer para explicar la convolución y su importancia de la manera más simple? y el otro, un enfoque aritmético. La respuesta de Raeed Chowdhury al procesamiento de señales digitales: ¿Qué se puede hacer para explicar la convolución y su importancia de la manera más simple?
Ambos son aplicables a señales discretas.