Esta puede ser una opinión impopular, pero creo que muchos textos elementales probablemente podrían ser más cortos. A menudo, los cientos de páginas no se usan tan bien. Peor aún, muchos textos no pueden decidir qué ser. Por ejemplo, un texto podría tratar simultáneamente de ser un material de aprendizaje, una colección de problemas y un libro de referencia.
Por supuesto, hay un sentido en el que más es mejor, pero en la práctica las cosas se vuelven desordenadas rápidamente. El tamaño de un texto y la cantidad de temas o problemas también pueden intimidar a los estudiantes. Afortunadamente, hoy podemos poner materiales complementarios en Internet, y esta es una excelente manera de hacer que un texto introductorio sea realmente uno para aprender. Se pueden incluir el material y los problemas más importantes, y se pueden poner en línea temas y problemas complementarios.
Debo señalar que se podría argumentar que Stewart y muchos otros libros de texto introductorios son referencias, pero no estoy seguro de que sea del todo cierto. La escritura de tales libros muestra claramente un deseo de enseñar a partir de los primeros principios, no solo de revisar y proporcionar problemas. Por supuesto, estos textos también quieren ser referencias, pero luego nos encontramos con los problemas antes mencionados.
El otro problema es con la escritura. Los académicos son mejores escritores que el público en general en promedio, pero los matemáticos no son los mejores entre los académicos. Además, presentar las matemáticas es difícil. Tenemos una idea de la mejor manera de hacerlo, pero la ejecución requiere un equilibrio delicado y un esfuerzo tremendo, y estamos lejos de tener suficientes métodos confiables y específicos para evitar dedicar mucho tiempo y esfuerzo a pensar en los asuntos y probar diferentes enfoques. Podría haber más investigación sobre cómo enseñar mejor las matemáticas, especialmente en los niveles superiores. Los textos introductorios hacen bien algunas cosas, por ejemplo, dan muchos ejemplos, pero a menudo fallan en hacer otras cosas bien, como motivar la introducción de alguna noción abstracta o explicar cómo funciona una maquinaria sofisticada (aunque solo sea intuitivamente).
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Los textos más avanzados, como los de matemática de segundo y tercer año de secundaria, generalmente comienzan a encontrarse, tienden a no ser muy largos. El álgebra lineal de Hoffman y Kunze tiene quizás 400 páginas, pero también está impreso como una novela, por lo que es mucho, mucho más corto que, por ejemplo, el libro de cálculo de Stewart. (Para ser justos, Stewart contiene algo más de material.) La teoría de números algebraicos de Lang es aún más corta que eso, pero es suficiente para cubrir un curso de posgrado de un año. Por supuesto, algunos textos en este nivel son largos, pero generalmente son referencias o no son introductorios. Por ejemplo, el álgebra de Lang es bastante grande, pero ninguna persona en su sano juicio usaría ese libro para una primera introducción al álgebra abstracta. A veces, los libros pueden ser más largos, porque no pueden explicar mucho a los humanos, sino que siguen el clásico formato de Definición-Teorema-Prueba a la perfección. Hay algunos que algunos dirían que son demasiado habladores, demasiado numerosos en resultados sin importancia, etc. , pero a este nivel parece haber menos problemas con todos los textos populares que son más largos de lo necesario.