Interpretaré la pregunta como pedir una clasificación de los 7 problemas del Premio Clay Millennium en función de la cantidad de matemáticas que se requieren para comprender sus afirmaciones. Esto no es lo mismo que cuánta matemática se requiere para comprender realmente cada problema (es decir, por qué es importante, qué soluciones se han intentado, etc.) y no es lo mismo que cuánta matemática se requerirá para resolver los problemas, ni cuán importante es cada problema.
En la forma más fácil, colocaría Navier – Stokes, P vs NP y la hipótesis de Riemann. Todo esto se puede entender desde las matemáticas de nivel de pregrado (o ciencias de la computación). El problema de Navier-Stokes es un sistema de ecuaciones diferenciales parciales, por lo que un curso sobre PDE (o cálculo vectorial) servirá. Como Alan Guo ha mencionado en su respuesta, P vs NP es accesible para alguien que ha tomado un curso básico de complejidad computacional y también ha proporcionado una referencia. La hipótesis de Riemann es una declaración simple en análisis complejo; necesita saber sobre la continuación analítica. La función zeta de Riemann está cubierta en la mayoría de los libros de análisis complejos estándar, véase, por ejemplo, las páginas 212 y 218 del análisis complejo de Ahlfors (la hipótesis de Riemann en sí se establece en la página 218).
La siguiente más fácil de entender sería la conjetura de Poincaré. Un curso básico de posgrado de primer año en topología algebraica es todo lo que se requiere para comprender la declaración (en ciertas instituciones, este es un curso de pregrado). Por ejemplo, se establece en el ejercicio 15 de la sección 4.2 del libro de Hatcher Topología algebraica . Este libro está disponible en línea en el sitio web de Hatcher: http://www.math.cornell.edu/~hat….
Los últimos tres problemas están en un nivel diferente en el sentido de que no existen (tal vez podría decirse) cursos estándar de posgrado de matemáticas que cubran el material.
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Colocaría la conjetura de Hodge como la más fácil de las tres dado que se trata de geometría algebraica / analítica compleja, que de hecho a veces es un curso de posgrado. Un libro estándar sobre geometría algebraica compleja es Griffiths – Harris Principios de geometría algebraica .
A continuación, creo que sería BSD. Esto implica curvas elípticas sobre los números racionales, así como sus reducciones sobre campos finitos para definir la función L. Es decir, implica algo de geometría algebraica sobre campos cerrados no algebraicamente. Pero también estoy asumiendo que estamos hablando de la versión más fuerte de BSD discutida en el comentario 1 en la página 2 de la descripción de Wiles. Estos términos adicionales implican comprender la definición del emparejamiento de altura, el grupo Tate-Shafarevich, el período Néron de la curva elíptica y los números de Tamagawa. Vea la aritmética de Silverman de las curvas elípticas o las curvas elípticas de Husemöller .
Como lo más difícil, le daré un guiño a Yang – Mills. Citando la descripción del problema de A. Jaffe & Witten: “… uno todavía no tiene un ejemplo matemáticamente completo de una teoría del medidor cuántico en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones, ni siquiera una definición precisa de la teoría del medidor cuántico en cuatro dimensiones”. . Es decir, nadie comprende la declaración matemática del problema, ya que aún no se ha formulado. Estoy siendo un poco gracioso (pero solo un poco, creo).