Estoy muy de acuerdo con el usuario de Quora. Comencé a revisar los textos de Spivak después de haber obtenido una buena formación en el área, incluida cierta experiencia con la relatividad general. Asumí el esfuerzo porque parecían completos y supuse que eran buenos según su texto de cálculo. Ambas cosas resultaron ser ciertas, pero todavía no creo que sean la mejor opción introductoria.
El material en el volumen uno probablemente sea apropiado para el autoaprendizaje, ya que cubre gran parte de los conceptos básicos sobre los múltiples, el haz tangente, los tensores, las formas diferenciales, la integración, las métricas riemannianas, los grupos de Lie y un poco de topología algebraica. Pero, después de que el volumen 2 se vuelve histórico y cubre una gran cantidad de geometría más clásica, lo que significa que gran parte del material que cubre a los geómetras modernos y a los estudiantes les importa poco. Además, debido a que el texto colectivo es tan largo, es mucho más completo que el típico libro de texto o curso de posgrado. Es cierto que tengo menos experiencia en los volúmenes 3 a 5, pero los he referenciado de vez en cuando. Gran parte del material en estos volúmenes está más allá de lo que necesito en mi trabajo, y esto es probablemente cierto para la mayoría de los físicos y matemáticos. El Volumen 4 en particular se ajusta a esta descripción. Además, debido a que este texto es tan completo, algunos resultados muy importantes y bien conocidos se dejan en secciones posteriores, mientras que los textos y notas modernos los cubrirían mucho antes (por ejemplo, el teorema de Gauss-Bonnet no se cubre hasta el volumen 3).
Creo que es un gran libro de referencia, no me malinterpreten, pero hay mejores libros de texto. Es algo similar a la SGA y la EGA en que es muy difícil pasar solo y probablemente innecesario cuando hay libros de texto más abreviados y accesibles (por ejemplo, la geometría algebraica de Hartshorne o las notas de Vakil). Si aún está interesado, los textos son bastante baratos (alrededor de $ 40 cada uno) y están disponibles en Amazon. En esta página (Geometría – Una serie completa de Introducción a la Geometría Diferencial de Spivak) hay una lista de la tabla de contenido.
En cuanto a un libro de texto recomendado, escucho cosas buenas sobre Banchoff y Lovett (también es bastante barato), pero todavía tengo que revisar el material. John Lee tiene un conjunto clásico de textos sobre el tema. Kreyszig está un poco anticuado y la impresión de Dover podría no ser la mejor, pero es otra opción barata. Shaum tiene un texto general sobre el tema que podría servir como un buen suplemento, basado en lo que sé de la serie en general. De lo contrario, creo que las notas de clase son el camino a seguir. Realmente me gustan las siguientes notas de la página de UCLA en ucla.edu.
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Quizás tener a Spivak como referencia (particularmente los dos primeros volúmenes, que se pueden encontrar en línea), Schaum como una descripción general amable, y algo como Banchoff o Lee como el texto principal, con las notas de UCLA como secundaria es una buena idea. idea.
Editar: casi lo olvido, Lang también tiene un buen texto ( Introducción a los manifiestos diferenciables ), aunque probablemente requiera algunos antecedentes. Los textos de Lang siempre son buenos.